ТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ РЯДА ФУРЬЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ЗАДАЧИ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

Селимханов Э.В.

Email: Selimkhanov639@scientifictext.ru

Селимханов Эмирхан Валерьевич - бакалавр, факультет математики и компьютерных наук, Дагестанский государственный университет, г. Махачкала

Аннотация: в статье даны точные оценки скорости сходимости (наилучших приближений) ряда Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля на классах функций, характеризующихся обобщенным модулем непрерывности, а также оценки N – поперечников Колмогорова этих классов. В вопросах, связанных с разложениями функций в ряды Фурье и оценками их скорости сходимости (наилучших приближений) по тригонометрической системе функций и по некоторым другим ортогональным системам, например, по классическим ортогональным многочленам, существенную роль играют операторы сдвига. Они связаны с «теоремами сложения» и «теоремами умножения» для этих систем. В общем случае таких теорем нет. В работе, опираясь на некоторые ранее известные факты, построен обобщенный модуль непрерывности. Введение такого модуля непрерывности функции оправдывается связью между скоростью сходимости ее ряда Фурье и поведением ее обобщенного модуля непрерывности (прямая и обратная теорема теории приближений).

Ключевые слова: оператор сдвига, оператор Штурма-Лиувилля, N – поперечник Колмогорова, ряд Фурье.

EXACT ESTIMATES OF THE SPEED OF THE CONVERGENCE OF A SERIES OF FOURIER ON THE OWN FUNCTIONS OF THE STURM-LIUVILLE PROBLEM

Selimkhanov E.V.

Selimkhanov Emirkhan Valerievich - Bachelor, FACULTY OF MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE, DAGESTAN STATE UNIVERSITY, MAKHACHKALA

Abstract: in this paper, we give sharp estimates of the rate of convergence (best approximations) of the Fourier series in eigenfunctions of the Sturm-Liouville problem on classes of functions characterized by a generalized modulus of continuity, and also estimates of the Kolmogorov N-widths of these classes. In questions related to the expansions of functions in Fourier series and estimates of their rate of convergence (best approximations) with respect to a trigonometric system of functions and some other orthogonal systems, for example, according to classical orthogonal polynomials, an important role is played by the shift operators. They are related to "addition theorems" and "multiplication theorems" for these systems. In the general case, there are no such theorems. In this paper, based on some previously known facts, a generalized continuity modulus is constructed. The introduction of such a modulus of continuity of a function is justified by the connection between the rate of convergence of its Fourier series and the behavior of its generalized modulus of continuity (the direct and inverse theorem of approximation theory).

Keywords: shift operator, Sturm-Liouville operator, N - Kolmogorov width, Fourier series.

Список литературы / References

Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976. 527с.
Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1962. 1100 с.
Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1969. 455 с.
Колмогоров А.Н. Избранные труды. Математика и механика. М.: Наука, 1987. 470с.
Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближений. М.: Наука, 1987. 424 с.
Керимов М.К., Селимханов Э.В. О точных оценках скорости сходимости рядов Фурье для функций одной переменной в пространстве // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2016. Т. 56. № 5. С. 730-741.
Рафальсон С.З. Наилучшее приближение функций в метриках алгебраическими многочленами и коэффициенты Фурье по ортогональным многочленам // Вестник Ленинг. гос. ун-та. Серия механ. и матем., 1969. № 7. С. 68–79.
Абилов В.А., Абилова Ф.В., Керимов М.К. Точные оценки скорости сходимости рядов Фурье по ортогональным многочленам в пространстве // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2009. Т. 49. № 6. С. 966-980.
Абилов В.А., Абилова Ф.В., Керимов М.К. О точных оценках скорости сходимости двойных рядов Фурье-Бесселя // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2017. Т. 57. № 11. С. 1-6.

Ссылка для цитирования данной статьи

Тип лицензии на данную статью – CC BY 4.0. Это значит, что Вы можете свободно цитировать данную статью на любом носителе и в любом формате при указании авторства.

Электронная версия. Селимханов Э.В. ТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ РЯДА ФУРЬЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ЗАДАЧИ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ // Вестник науки и образования №3 (39), 2018. [Электронный ресурс]. URL: http://scientificjournal.ru/images/PDF/2018/VNO-39/tochnye-otsenki.pdf (Дата обращения: ХХ.ХХ.201Х).

Печатная версия. Селимханов Э.В. ТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ РЯДА ФУРЬЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ЗАДАЧИ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ // Вестник науки и образования №3 (39), 2018, C. {см. журнал}.