О НАИЛУЧШЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ СУММАМИ ФУРЬЕ

Абилова Ф.В., Селимханов Э.В.

Email: Abilova674@scientifictext.ru

Абилова Фарида Владимировна – кандидат физико-математических наук, доцент,

кафедра высшей математики;

Селимханов Эмирхан Валерьевич – магистр,

факультет математики и компьютерных наук,

Дагестанский государственный университет,

г. Махачкала

Аннотация: в статье даны точные оценки скорости сходимости (наилучших приближений) двойного ряда Фурье по тригонометрической системе на некоторых классах функций двух переменных. Известно, что в теории приближения функций одной переменной (прямые и обратные теоремы) важную роль играет обычный модуль непрерывности. В вопросах, связанных с функциями многих переменных, эту величину можно определить по-разному. Здесь, мы, пользуясь нашими ранее известными идеями, строим обобщенный модуль непрерывности для функций двух переменных, который позволяет установить прямые и обратные теоремы теории приближений, а также дать некоторые точные оценки скорости сходимости (наилучших приближений), на классах функций двух переменных, характеризующихся обобщенным модулем непрерывности, что оправдывает его введение. Так как в отличие от одномерных рядов для двумерных рядов нет естественного способа построения частичных сумм двойного ряда, то сначала мы должны фиксировать некоторый класс функций и затем построить частичные суммы (оптимальные) двойного ряда так, чтобы указанная величина была минимальной, что приводит к «треугольным», «прямоугольным» и другим частичным суммам двойного ряда. Эти идеи привели к исследованию некоторых поперечников рассматриваемых классов функций. В статье мы даем также оценки поперечников этих классов функций.

Ключевые слова: обобщенный модуль непрерывности, ряд Фурье, наилучшее приближение, оператор обобщенного сдвига, поперечники.

ON THE BEST APPROXIMATION OF FUNCTIONS OF TWO VARIABLES BY FOURIER SUMS

Abilova F.V., Selimkhanov E.V.

Аbilova Farida Vladimirovna – Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor,

DEPARTMENT OF HIGHER MATHEMATICS;

Selimkhanov Emirkhan Valerievich – Master of Mathematics,

FACULTY OF MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE, DAGESTAN STATE UNIVERSITY,

MAKHACHKALA

Abstract: the article gives exact estimates of the rate of convergence (best approximations) of the double Fourier series in the trigonometric system on some classes of functions of two variables. It is known that in the theory of approximation of functions of one variable (direct and inverse theorems), the usual modulus of continuity plays an important role. In matters related to the functions of many variables, this value can be determined in different ways. Here, using our previously known ideas, we construct a generalized modulus of continuity for functions of two variables, which allows us to establish direct and inverse theorems of approximation theory, as well as give some exact estimates of the rate of convergence (best approximations), on classes of functions of two variables characterized by generalized modulus of continuity, which justifies its introduction. Since, unlike one-dimensional series, for two-dimensional series there is no natural way to construct partial sums of a double series, we must first fix a certain class of functions and then construct partial (optimal) double sums so that the indicated quantity is minimal, which leads to “triangular”,“ rectangular” and other partial double row sums. These ideas led to the study of some diameters of the considered classes of functions. In the article we also give estimates of the diameters of these classes of functions.

Keywords: generalized modulus of continuity, Fourier series, best approximation, generalized shift operator, diameters.

Список литературы / References

Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа: М. Наука, 1976.
Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: Издательство МГУ, 1976.
Абилов В.А., Абилова Ф.В., Абилов М.В. Некоторые обратные теоремы приближения функций суммами Фурье-Лагерра //Известия вузов. Математика, 2010, №9, С. 3-9.
Abilov V.A., Abilov M.V. Certain problems of the approximation of functions in two variables by Fourier-Hermite sums in the space //Analysis Mathematica, 32(2006), p. 163-167.
Керимов М. К., Селимханов Э.В. О точных оценках скорости сходимости рядов Фурье для функций одной переменной в пространстве // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2016, Т.56, №5, С.1364-1368.
Абилова Ф.В., Селимханов Э.В. Точные оценки скорости сходимости рядов Фурье двух переменных и их приложения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2018, Т.58. №10, С. 1596-1605.
Селимханов Э.В. Точные оценки скорости сходимости двойных рядов Фурье по произвольным ортогональным системам// Проблемы современной науки и образования. 2018, №04, С. 17-28.
Селимханов Э.В., Абилова Ф.В. Точные оценки скорости сходимости ряда Фурье в Гильбертовом пространстве// Вестник науки и образования №9(63), 2019, C. 5-13.
Abilov V.A. On the Convergence of Multiple Series and Quadrature Formulae. // Mathematica Balkanica. New Series Vol. 16, 2002, Fasc. 1-4, p. 73-94.
Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука. 1969.

Ссылка для цитирования данной статьи

Тип лицензии на данную статью – CC BY 4.0. Это значит, что Вы можете свободно цитировать данную статью на любом носителе и в любом формате при указании авторства.

Электронная версия. Абилова Ф.В., Селимханов Э.В. О НАИЛУЧШЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ СУММАМИ ФУРЬЕ // Вестник науки и образования №20(74), 2019. [Электронныйресурс].URL: http://scientificjournal.ru/images/PDF/2019/VNO-74/o-nailuchshem-priblizhenii.pdf (Дата обращения:ХХ.ХХ.201Х).

Печатная версия. Абилова Ф.В., Селимханов Э.В.О НАИЛУЧШЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ СУММАМИ ФУРЬЕ// Вестник науки и образования № 20(74), 2019, C. {см. журнал}.